Question

线性代数，向量问题

设向量组a1,a2,a3,a4,......ar的秩是r，证明：a1,a2,........as中任何含r个向量的部分组如果线性无关，都是其极大无关组。

Answer 1

证明: 设 ai1,ai2,...,air 是a1,a2,...,as中含r个向量的线性无关的部分组
因为ai1,ai2,...,air线性无关 (1)
所以 若证ai1,ai2,...,air是一个极大无关组
只需证a1,a2,...,as中任一向量都可由ai1,ai2,...,air线性表示
事实上, 对a1,a2,...,as中任一向量b
ai1,ai2,...,air,b 必线性相关 (2)
否则a1,a2,...,as的秩至少是 r+1.
故由(1),(2)知 b可由ai1,ai2,...,air线性表示.
所以ai1,ai2,...,air是一个极大无关组.