Question

高数证收敛：0<x1<1,Xn+1=1-根号Xn，（n，n+1下角标），证明Xn收敛

我是把X1分成2种情况
1种是奇数次项单调递减，偶次数项单调增（或者另一种情况反过来），又有界，所以子列收敛，但之后就不知道怎么说明收敛同一个了
难道是我的方法不对吗

Answer 1

你的方法是正确的。
你证明了两个子列都收敛，然后奇数项x【2n+1】=1-根号x【2n】=1-根号（1-根号【2n-1】）
由于奇数项收敛，则n趋向无穷时，x【2n+1】=x【2n-1】=a
a=1-根号（1-根号a）
同理偶数项也是b=1-根号（1-根号b）（ps;假设奇数项收敛于a，偶数项收敛于b）
a、b是方程x=1-根号（1-根号x）的根。
很容易化简出x^2+x-1=0
方程的根一正一负，明显a、b都是正数，所以收敛于同一值。