Question

已知函数f（x）＝㏑x＋a÷x－a(a∈R).1.求f(x）的单调递区间。

Answer 1

f'(x)=1/x-a/x^2=(x-a)/x^2
1.当a<=0时，f'(x)>0恒成立，f(x)的单调增区间为(0,+∞)
2.当a>0时，令f'(x)=0，得x=a
0<x<a时，f'(x)<0；x>a时，f'(x)>0
f(x)的单调增区间为(a,+∞)，单调减区间为(0,a)

追问

求证：不等式1÷㏑x－1÷﹙x－1﹚＜½对一切x∈﹙1,2﹚恒成立

追答

即证x-1-lnx0，g(x)单调递增
所以g(x)>g(1)=1
所以1-lnx-1/x<0
所以f(x)单调递减，f(x)<f(2)=1-3/2ln2<0
证毕

Answer 2

定义域为x>0
f'(x)=1/x-a/x^2=(x-a)/x^2=0--> x=a
若a<=0, 则x>0为单调递增区间
若a>0, 则x>=a为单调增区间
0<x<=a为单调减区间

Answer 3

对函数求导得到：
y'=1/x-a/x^2=(x-a)/x^2
因为x>0,则有：
1、当a<0的时候，x-a>0,此时函数在[0,+∞）是增函数。
2、当a>0的时候：
（1）当0<x<=a的时候y'<=0,则函数为减函数，故减区间为：(-∞，a]
（2）当x>a的时候，y'>0,则函数为增函数，故增区间为：(a,+∞）。

追问

求证：不等式1÷㏑x－1÷﹙x－1﹚＜½对一切x∈﹙1,2﹚恒成立

追答

楼上已经回答了。