Question

已知等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D是AC的中点，AE⊥BD交BD于E，交BC于F，连接DF，求证：∠ADB=∠CDF

Answer 1

证明：
过C作CM//AB交AF的延长线于M
因为∠BAC＝90°
所以∠BAE＋∠DAE＝90°，
因为∠BAE＋∠ABE＝90°
所以∠ABE＝∠DAE
因为CM//AB，∠BAC＝90°
所以∠ACM＝90°
又因为AB＝AC
所以△BAD≌△ACM（ASA）
所以AD＝CM，∠ADB＝∠M
因为D是AC的中点
所以AD＝CD
所以CD＝CM
因为∠ACM＝90，∠ACB＝45
所以∠ACB＝∠BCM＝45
又因为CF＝CF
所以△DCF≌△MCF（SAS）
所以∠CDF＝∠M
所以∠ADB=∠CDF

参考:
作AG平分∠BAC，交BD于点G
∵∠BAC=90°，AE⊥BD
∴∠DAE+∠ADB=ABE+∠ADB=90°
∴ ∠ABG=∠CAF
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AB=AC，∠C=∠BAG=45°
∴△BAG≌△CAF
∴AG=CF
又∵AD=CD，∠GAD=∠C =45°
∴△AGD≌△DFG
∴∠ADB=∠CDF