Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．

（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由.

Answer 1

证明：∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC,DE是BC的垂直平分线
∴DE⊥BC,BE=CE
∴FE//AC
∴BE=AE,∠AEF=∠EAC
∵AF=CE
∴AF=AE=EC=BE
∴∠AEF=∠AFE=∠EAC=∠ECA
∴∠FAE=∠AEC
∴AF//EC
∵EF=AC
∴四边形ACEF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

Answer 2

是
∵FE⊥BC，∠ACB=90°
∴FE∥AC
∵ED垂直平分BC
∴E是直角三角形斜边中点
∴CE=AE
又AF=CE
∴AF=AE 又FE∥AC
∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ACE=∠CED
∴AF∥CE
∴四边形ACEF是平行四边形

Answer 3

解：四边形ACEF是平行四边形，下面给以证明：

∵DF垂直平分BC，

∴E为AB的中点，AE=BE=CE.且有DF∥AC.

又AF=CE，所以有CE=AE，AF=AE，△CAE与△FAE

均为等腰三角形。于是∠1=∠2，∠3=∠4.

又∵DF∥AC，∴∠2=∠3，因此∠1=∠4.

在△CAE与△FAE中，∠2=∠3，∠1=∠4，CE=AF，

所以△CAE≌△FAE，AC=EF.又AC∥EF，所以四边形ACEF是平行四边形。

Answer 4

是 

∵DE为BC垂直延长线

∴∠2+∠3=90°       

∵∠1+∠2=90°

∴∠1=∠3

∵∠5+∠4=90°

    ∠2=∠4

∴∠2+∠5=90°

∵∠1+∠2=90°

∴∠1=∠5

∴AE=CE

∵AF=CE

∴AE=AF

∴∠F=∠AEF

∵∠AEF=∠DEB

∵∠5=∠DEB

∴AC平行DF

∴为平行四边形

（有点乱 看不懂得再问我吧···）

Answer 5

：（1）四边形ACEF是平行四边形；
证明：∵DE垂直平分BC，
∴ED是△ABC的中位线．
∴BE=AE，FD∥AC．
Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴CE=AE=AF．
∴∠F=∠5=∠1=∠2．
∴∠FAE=∠AEC．
∴AF∥EC．
又∵AF=EC，
∴四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B=30°时，四边形ACEF为菱形；
证明：要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可，
∵CE= 12AB，
∴AC= 12AB即可，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴当∠B=30°时，AB=2AC，
故∠B=30°时，四边形ACEF为菱形；

（3）四边形ACEF不可能是正方形，
因为由已知，∠ACB=90°，
∴∠ACE＜∠ACB，
即∠ACE＜90°，不能为直角，
所以四边形ACEF不可能是正方形

Answer 6

解：（1）四边形ACEF是平行四边形；
证明：∵DE垂直平分BC，
∴ED是△ABC的中位线．
∴BE=AE，FD∥AC．
Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴CE=AE=AF．
∴∠F=∠5=∠1=∠2．
∴∠FAE=∠AEC．
∴AF∥EC．
又∵AF=EC，
∴四边形ACEF是平行四边形；