Question

已知向量a=(根号3sinx,cosx),b=(cosx,cosx),函数f(x)=2a·b-1

（1）求f（x）的对称轴，及单调递增区间；
（2）当x∈[π/6，π/2]时，若f（x）=1，求x。
（3）当x∈[0，π/2]时，求f（x）的值域。

Answer 1

解：
(1) f(x)=2a·b-1=2√3sinxcosx+2cos²x-1
=√3sin2x+cos2x
=sin(x+π/6)
当x+π/6=π/2+kπ 即 对称轴：x=π/3+kπ
当x+π/6∈[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]时，f(x)单调递增，解得：x∈[-2π/3+2kπ,π/3+2kπ]
当x+π/6∈[π/2+2kπ,3/2π+2kπ]时，f(x)单调递减，解得：x∈[π/3+2kπ,4/3π+2kπ]
(2)因为 f(x)=1
所以 x+π/6=π/2+2kπ
x=π/3+2kπ
因为x∈[π/6，π/2]
所以x=π/3
(3)因为x∈[0，π/2]
所以 x+π/6∈[π/6,2/3π]
由函数图像可知：f(x)max=sin(π/2)=1，f(x)min=sin(2/3π)=-√3/2
所以，值域为：[-√3/2,1]