Question

关于用极限定义证明数列极限

Answer 1

证明：（1）对于任意的ε>0，解不等式
│0.99..9-1│=│(1-1/10^n)-1│=│-1/10^n│=1/10^n<ε
得n>lg(1/ε)，取N≥[lg(1/ε)]。
于是，对于任意的ε>0，总存在自然数NN≥[lg(1/ε)]。当n>N时，有│0.99..9-1│<ε。
即lim(n->∞)(0.99....9n个9)=1；
（2）对于任意的ε>0，解不等式
│arctann-π/2│=│arctan(-1/n)│=│-arctan(1/n)│=arctan(1/n)<ε
得n>cotε，取N≥[cotε]。
于是，对于任意的ε>0，总存在自然数N≥[cotε]。当n>N时，有│arctann-π/2│<ε。
即lim(n->∞)(arctann)=π/2。

追问

能解释一下这一步是如何得到的吗？│arctann-π/2│=│arctan(-1/n)│

追答

令θ=arctann-π/2
==>tanθ=tan(arctann-π/2)=-tan(π/2-arctann)=-cot(arctann)=-1/tan(arctann)=-1/n
==>θ=arctan(-1/n)
==>arctann-π/2=arctan(-1/n)
==>│arctann-π/2│=│arctan(-1/n)│