Question

如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD

如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD

Answer 1

在AB上取点N ,使得AN=AC
∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN
所以∠ANE=∠ACE
又AC平行BD
所以∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
所以∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
BE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD
所以BD=BN
所以AB=AN+BN=AC+BD

追问

、已知，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC延长线于F,连接AF
求证：∠CAF=∠B

Answer 2

证明：
在AB上截取AF=AC，连接EF
∵AE平分∠CAB
∴∠CAE=∠FAE
又∵AE=AE，AF=AC
∴⊿CAE≌⊿FAE（SAS）
∴∠C=∠AFE
∵AC//BD
∴∠C+∠D=180º
∵∠AFE+∠BFE=180º
∴∠BFE=∠D
又∵∠FBE=∠DBE【BE平分∠DBA】
BE=BE
∴⊿FBE≌⊿DBE（AAS）
∴BF=BD
∴AB=AF+BF=AC+BD

Answer 3

∵∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN
∴∠ANE=∠ACE
又∵AC平行BD
∴∠ACE+∠BDE=180°
∴∠ANE+∠ENB=180°
∴∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
BE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD
∴BD=BN
∴AB=AN+BN=AC+BD
(注：在AB上取点N ,使得AN=AC ）

追问

、已知，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC延长线于F,连接AF
求证：∠CAF=∠B

追答

证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，
∵∠ADF=∠B+∠BAD，
∠DAF=∠CAF+∠CAD，
又∠BAD=∠CAD，
∴∠B=∠CAF．