Question

二次函数f(x+1)-f(x)=2x f(0)=1 求f(x)解析式

Answer 1

你好！
解：设f(x)=ax^2+bx+c,
因为f(0)=1,所以c=1，
又因为f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，
所以 a(x+1)^2+b(x+1)+c-ax^2-bx-c=2x
整理得 （2a-2)x+(a+b)=0
上式要成立，必须满足 2a-2=0且a+b=0
所以 a=1,b=-1，即 f(x)=x^2-x+1

追问

在区间[-1,1]上，y=f(x)图像恒在y=2x+m上方，求m取值范围！

追答

分析：
（2）不等式恒成立即为把不等式变为x2-3x+1＞m，令g（x）等于x2-3x+1，求出g（x）在区间[-1，1]上的最大值，即可得到m的取值范围，求最大值的方法是：把g（x）配方成二次函数的顶点形式，找出对称轴，经过判断发现对称轴在区间内，又二次函数的开口向上，所以得到g（x）的最大值为g（1），代入g（x）的解析式即可得到g（1）的值，让m小于等于g（1）即可求出m的范围；

当x∈[-1，1]时，f（x）＞2x+m恒成立即：x2-3x+1＞m恒成立；
令 g(x)=x^2-3x+1-m，
x∈[-1，1]则对称轴：x=3/2 ，所以g(x)在【-1,1】上递减
则g（x）min=g（1）=-1，
∴m＜-1；

Answer 2

解：设二次函数的解析式为f(x)=ax²+bx+c（a≠0）
∵f(0)=1
∴c=1
则f(x)=ax²+bx+1
∵f(x+1)-f(x)=2x
∴a(x+1)²+b（x+1)+1-（ax²+bx+1）=2x
ax²+2ax+a+bx+b+1-ax²-bx-1=2x
2ax+（a+b）=2x
2a=2，a+b=0
则a=1，b=-1
所以二次函数的解析式为：f(x)=x²-x+1