Question

证明：方程x^3-5x-2=0只有一个正根

如题。

Answer 1

令f(x)=x^3-5x-2

f'(x)=3x^2-5

令f'(x)=0 得x=±√5/3

x<-√5/3时，f'(x)>0;-√5/3<x<√5/3时，f'(x)<0;x>√5/3时，f'(x)>0

所以x=-√5/3为极大值点x=√5/3为极小值点

f(√5/3)=-10/3√5/3-2<0

f(0)=-2

由函数图象得f(x)在（0，+∞）只有一个零点

追问

不依据图像怎么判断只有一个零点啊？

追答

单调性，图像只是说明啦
f(x)在(0,√5/3)单调递减，在(√5/3,+∞)单调递增
做题时可以画出草图方便思考

Answer 2

设三根abc则（x-a）（x-b）（x-c）=x^3-（a+b+c）x^2+（ab+ac+bc）x-abc=0
所以-（a+b+c）=0即a+b+c=0
-abc=-2 即abc=2》0所以abc必须三正，一正2负 又因为a+b+c=0
所以abc不能都为正，所以只能一正2负

Answer 3

我把这个方程解出来

x1= -2 <0
x2=1 - 2^(1/2)<0
x3= 2^(1/2) + 1<0
所以只有一个正根