Question

已知二次函数F(X)=X的平方+(B+1)X+C,(B>=0,C属于R)，若F(X)的定义域为[-1,0]时，值域也是[-1,0],

问：符合上述条件的函数F(X)是否存在？若存在，求出F(X)的表达式；若不存在，请说明理由。

Answer 1

同学 你好：
因为F（x）函数的定义域为[-1,0]，因为B值为一个范围，所以采用讨论的思想，现在
假设
①对称轴x=-（B+1)/2≤-1，推出B≥1，F(X)的定义域为[-1,0]为增函数，F(-1)最小=-1. F(0)最大=0，所以代入，得1-（B+1）+C=-1，C=0.联立求解得B=1，满足题意，所以F(X)=x²+2x算一个
后面我就简单写下了，打字有点麻烦，
②对称轴x=-1＜-（B+1)/2≤-1/2时，算出B范围，F(-1/2)最小=-1，F（0）最大=0，代入联立求解，求出B是否在B的范围，行就ok
③-1/2＜-（B+1)/2≤0，时 继续讨论
④-（B+1)/2≥0时 注意F(X)的定义域为[-1,0]成减函数 另外注意B本身大前提的范围

Answer 2

当b<1时，在[-1,0]上，F(x)最大值为F(0)=c，最小值为F(-b/2-1/2)=-[(b+1)^2]/4+c
令c=0，-[(b+1)^2]/2+c=-1，
得(b+1)^2=4，b=1
不符合条件b<1

当b>=1时，在[-1,0]上，F(x)最大值为F(0)=c，最小值为F(-1)=c-b
令c=0，c-b=-1
得b=1
符合条件b>=1

综上所述，符合上述条件的函数F(X)存在
F(x)=X^2+2X

Answer 3

对对称轴-（B+1)/2进行分类：
-（B+1)/2<=-1时，则f(-1)=-1,f(0)=0,带入验证是否成立。
-（B+1)/2>=0时，则f(-1)=0,f(0)=-1，带入验证是否成立。
-1<-（B+1)/2<-1/2,则f(-（B+1)/2)=-1,f(0)=0,带入验证是否成立。
-1/2<-（B+1)/2<0,则f(-（B+1)/2)=-1,f(-1)=0带入验证是否成立。