Question

若椭圆C的中心在原点，焦点在X轴上，短轴的一个端点与左右焦点F1F2组成一个正三角形

，焦点到椭圆上的点的最短距离为根号3.（1）求椭圆C的方程（2）过点F2作直线l与椭圆C交于A B 两点，线段AB的中点为M，求直线MF1的斜率的取值范围？

Answer 1

[[1]]
可设椭圆方程为
(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a＞b＞0)
由题设可得
a-c=√3
b=(√3)c
a²=b²+c²
解得:
a=2√3,
b=3
c=√3
∴椭圆方程为
(x²/12)+(y²/9)=1
[[[2]]]
易知,F1(-√3,0), F2(√3, 0)
当直线L的斜率k不存在时,易知,此时直线MF1的斜率为0.
当直线L的斜率k存在时,可设其方程为
y=k(x-√3)
与椭圆方程联立,整理可得
(3+4k²)x²-(8√3)k²x+12(k²-3)=0
∴由韦达定理可知,中点M的横坐标为[(4√3)k²/(3+4k²)
纵坐标为[(-3√3)k]/(3+4k²)
∴直线MF1的斜率m=(-3k)/(8k²+3)
∴8mk²+3k+3m=0
∴⊿=9-96m²≥0
m²≤9/96
∴直线MF1的斜率m的取值范围为
-(√6)/8≤m≤(√6)/8