Question

高等数学：利用函数的凹凸性证明不等式》》很基础的

1/2[(x^n)+(y^n)]>[(x+y)/2]^n

如题证明，请写清晰思路和运用那些公式，我太菜了，谢谢！

Answer 1

我觉得应该限定x，y均为正数。设f（x）=x^n，则f''(x)=n（n-1）x^(n-2)＞0，所以f（x）在(0,+∞)上是凹函数。由定义，对于(0,+∞)上任意两点x，y，都有1/2[(x^n)+(y^n)]>[(x+y)/2]^n

追问

由定义……开始不懂，能否说得傻瓜式一点？谢

追答

凹函数定义：对区间[a，b]上任意两点x1，x2，都有1/2[f（x1）+f（x2）]＞f（（x1+x2）/2），即f（x）图像上任意两点的连线都在函数图像的上方。