Question

计算定积分：∫0→1 (1-x^2)^n dx

如题。提示：令I[n]=∫0→1 (1-x^2)^n dx。答案是：分子：2^(2n)(n!)^2，分母：(2n+1)!
求过程。谢谢！

Answer 1

具体回答如下：

令x=sint

∫(0,π/2) (cost)^(2n+1)dx 

∫(0,π/2) (sint)^n dx=∫(0,π/2) (cost)^n dx=(n-1)!!/n!! 

(2n)!!/(2n+1)!!=(2n)*(2n-2)*……*2/[(2n+1)*(2n-1)*……*1]

=(2^n)*n!*(2n)!!/(2n+1)!

=2^(2n)*(n!)²/(2n+1)!

定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

∫(0,1) (1-x²)^n dx
令x=sint
则积分化为：∫(0,π/2) (cost)^(2n+1)dx ①
利用积分公式∫(0,π/2) (sint)^n dx=∫(0,π/2) (cost)^n dx=(n-1)!!/n!! 当n为奇数时
那么①式就可化为：(2n)!!/(2n+1)!!=(2n)*(2n-2)*……*2/[(2n+1)*(2n-1)*……*1]
=(2^n)*n!*(2n)!!/(2n+1)!
=2^(2n)*(n!)²/(2n+1)!