Question

高数 连续 可导

什么条件下，函数
/ x^hsin(1/x) x≠0
f(x)=<
\ 0 x=0
（1）,在x=0处是连续的
（2），在x=0处是可导的
（3）,在x=0处到函数是连续的

Answer 1

（1）要使 f(x)=,在x=0处是连续的
即要求 (x→0) lim f(x)=f(0)=0
lim x^h sin(1/x) =0
因 (x→0) 时 sin(1/x) 振荡有界 所以发散 而 x^h 有三种极限情况0 ∞ 1分别对应h>0 h<0 h=0
显然要使极限存在且为零 只能h>0
（2）要使 f(x) 在x=0 处是可导的
即要求 (x→0) lim [f(x) - f(0)] / x = lim x^(h-1) *sin(1/x) 极限存在
同（1）分析一样可得 h-1>0 即 h>1
（3）要使f '(x)在x=0处连续 则前两点必须满足 则要求 h>1
同时要求 (x→0) lim f '(x)=f'(0)=0
而在x≠0 时 f '(x)=hx^(h-1)*sin(1/x) - x^(h-2)*cos(1/x)
在(x→0)时 f '(x)前一部分极限为零，后一部分如同（1）所分析要求h-2>0
即h>2