用换元法计算定积分

∫(x^3/2乘以dx)/(1+x)∫上面为1,下面为0要具体过程~... ∫(x^3/2乘以dx)/(1+x) ∫上面为1,下面为0 要具体过程~ 展开
fin3574
高粉答主

2011-11-27 · 你好啊,我是fin3574,請多多指教
fin3574
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令ψ²=x,2ψdψ=dx
当x=0,ψ=0 // 当x=1,ψ=1
∫(0到1)x^(3/2) / (1+x) dx
= 2∫(0到1) ψ⁴/(1+ψ²) dψ
= 2∫(0到1) ψ²[(ψ²+1)-1]/(1+ψ²) dψ
= 2∫(0到1) ψ² dψ - 2∫(0到1) [(ψ²+1)-1]/(1+ψ²) dψ
= (2/3)ψ³[0到1] - 2∫(0到1) dψ + 2∫(0到1) 1/(1+ψ²) dψ
= (2/3) - 2ψ[0到1] + 2arctanψ[0到1]
= (2/3) - 2 + 2[arctan1 - arctan0]
= π/2 - 4/3
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