Question

两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：

（1）如图，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积．

（2）如图，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．

Answer 1

①
设∠ADC=90°，则∠ACD=30°
CD÷AC=sin60°，CD=2分之根号3
AD÷AC=cos60°，AD=2分之1

∠DBC=30°，∠BCD=60°
tan60°=AC÷CB，CB=3分之根号3
勾股定理，得AB=3分之2根号3
四边形CDBF面积为DB×CD=9-4分之根号3

②
当D移到AB中点时，∠DCB=∠CBD=∠FCB=∠FBC=45°，则四边形CDBF为正方形。

Answer 2

设∠ADC=90°，那么∠ACD=30°
CD÷AC=sin60°，CD=2分之根号3
AD÷AC=cos60°，AD=2分之1
∠DBC=30°，∠BCD=60°
tan60°=AC÷CB，CB=3分之根号3

四边形CDBF面积为DB×CD=9-4分之根号3
当D移到AB中点时，∠DCB=∠CBD=∠FCB=∠FBC=45°，就是四边形CDBF为正方形。

Answer 3

解：（1）因为S四边形CDBF=S三角形CDF+S三角形FDB=S三角形CAD+S三角形CDB=S△ABC，
所以四边形CDBF的面积不会变．
S四边形CDBF=S△ABC=1 2 ×2× 3 2 = 3 2 ．

（2）△COD≌△BOD≌△BOF≌△COF；
△ACD≌△FCD≌△BFD；
△BCD≌△BCF≌△EFB．

（3）过D点作DH⊥AE于H，在Rt△ABE中，AE= AB2+BE2 = 7 ，
由△ADH∽△AEB得DH BE =AD AE ，即DH 3 =1 7 ，解得DH= 21 7 ，
而DE=AB=2，在Rt△DHE中，sin∠α=DH DE = 21 7 ÷2= 21 14 ．

Answer 4

．：（1）因为S四边形CDBF=S三角形CDF+S三角形FDB=S三角形CAD+S三角形CDB=S△ABC，
所以四边形CDBF的面积不会变．
S四边形CDBF=S△ABC=12×2×32=32．

Answer 5

:两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1．所以直角三角形ABC和DEF为RT△而∠A=60所以∠E=30。所以AB=2AC=2=DB所以四边形CDBF=4