Question

高中数学函数求值域，用两种方法

求y=（2x^2+x+2)/(x^2+1)的值域
用根判别式法和用耐克函数的性质做，要过程，谢谢

Answer 1

你好！

y=(2x^2+x+2) / (x^2+1)
整理得：(y-2)x² -x +y-2 =0
Δ=1- 4(y-2)² ≥0
解得 3/2 ≤ y ≤ 5/2

y=(2x^2+x+2) / (x^2+1)
= 2 + x/(x²+1)
= 2+ 1/ (x + 1/x)
x+1/x ∈(-∞,-2] ∪ [2,+∞) 【耐克函数的性质】
∴1/(x +1/x) ∈ [-1/2，1/2]
y∈[3/2，5/2]

追问

2+ 1/ (x + 1/x)
这个的值域怎么会可以取到2？

追答

这里我没做好。

y=(2x^2+x+2) / (x^2+1)
= 2 + x/(x2+1)
= 2+ 1/ (x + 1/x) 【x≠0】
x+1/x ∈(-∞,-2] ∪ [2,+∞) 【耐克函数的性质】
∴1/(x +1/x) ∈ [-1/2,0)∪(0,1/2]
y∈[3/2,2)∪(2,5/2]

当x=0时，y= 2
故y∈[3/2,5/2]