Question

已知函数f(x)=loga[(x+b)/(x-b)](a＞1且b＞0).

(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)判断f(x)的单调性，并用定义证明。

Answer 1

(1)定义域：(x+b)/(x-b)>0
所以：x>b或者x<-b

(2)f(-x)=loga[(-x+b)/(-x-b)]
=loga[(x-b)/(x+b)]
=-loga[(x+b)/(x-b)]
=-f(x)
所以为奇函数

（3）记：g(x)=(x+b)/(x-b)=(x-b+2b)/(x-b)=1+2b/(x-b)
取x1<x2属于定义域：
g(x1)-g(x2)=2b/(x1-b)-2b/(x2-b)=2b(x2-x1)/(x1-b)(x2-b)<0
为减函数，所以
当0<a<1的时候，f(x)为增函数；
当a>1的时候，f(x)为减函数。