问一道初二数学题
如图,两个等腰△CBA和△CDE,顶角∠ECD=顶角∠BCA,点F是线段AD和BE的交点,连接CF,探究并证明∠CFA与∠CFE的数量关系。...
如图,两个等腰△CBA和△CDE,顶角∠ECD=顶角∠BCA,点F是线段AD和BE的交点,连接CF,探究并证明∠CFA与∠CFE的数量关系。
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1个回答
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答:两个角相等,且等于等原来两个等腰三角形的底角。
即:∠CFA=∠CFE=∠CAB=∠CED
证明:在三角形ACD与三角形BCE中,AC=BC,DC=EC
因为顶角∠ECD=顶角∠BCA
所以∠ACD=∠ACB+∠BCD=∠BCD+∠DCE=∠BCE
所以三角形ACD全等于三角形BCE
所以∠CAD=∠CBE,∠CDA=∠CEB
所以ABFC四点共圆,CFDE四点共圆
所以:∠CFA=∠CBA=∠CAB=∠CDE=∠CFE=∠CDE=∠CED。
即:∠CFA=∠CFE=∠CAB=∠CED
证明:在三角形ACD与三角形BCE中,AC=BC,DC=EC
因为顶角∠ECD=顶角∠BCA
所以∠ACD=∠ACB+∠BCD=∠BCD+∠DCE=∠BCE
所以三角形ACD全等于三角形BCE
所以∠CAD=∠CBE,∠CDA=∠CEB
所以ABFC四点共圆,CFDE四点共圆
所以:∠CFA=∠CBA=∠CAB=∠CDE=∠CFE=∠CDE=∠CED。
追问
还有其他方法吗?我没学四点共圆。
追答
四点共圆其实就是三角形的正弦定理的变形。
如原图所示:如果能知道∠CAD=∠CBE,则三角形ACF外接圆的半径R=CF/(2sin∠CAF)
而三角形CBF的外接圆的半径R'=CF/(2sin∠CBF)
因而R=R'
所以四点共圆.
四点共圆的特性就是同一条弦在同一边所对的弦角相等,由三角形的正弦定理可以证明.
我不知道还有没有其它更好的办法.呵呵.
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