Question

已知函数f(x)=x方+2/x+alna(x>0)在[1,正无穷]上单调递增,则a的取值范围是

Answer 1

f(x)=x^2+2/x+alnx(x>0)（楼主表达有问题，已修改）
f'(x)=2x-2/x^2+a/x=(2x^3+ax-2)/x^2
问题转化为g(x)=2x^3+ax-2在x∈[1,+∞)恒大于等于零（正无穷这里是圆括号，注意）
g'(x)=6x^2+a
1.a<0时，g'(x)有零点√(-a/6)
0<x<√(-a/6)时，g'(x)<0；x>√(-a/6)时，g'(x)>0
a.当√(-a/6)∈[1,+∞)时，即a≤-6时
g(√(-a/6))为极小值≥0，无解，故不成立
b.当√(-a/6)不属于[1,+∞)时，即-6<a<0时
g'(x)≥0恒成立
g(x)≥g(1)=a≥0，不成立
2.a≥0时，g'(x)≥0恒成立
g(x)≥g(1)=a≥0，成立

综上，a的取值范围为[0,+∞)