Question

高二数学题 求高手加分~~~~

设f(x)=x^2-3x+3/x-2 (x>2) g(x)=a^x (a>1,x>2)
若任意x1属于（2，+无穷） ，存在x2属于(2,+无穷) 使得f(x1)=g(x2)，求实数a 的范围？

Answer 1

（1）m的范围就是f(x)在(2,+∞)上的值域；
令m=f(x)=(x²-3x+3)/(x-2)，令x-2=t，则t>0，且x=t+2；
m=[(t+2)²-3(t+2)+3]/t=(t²+t+1)/t=t+1/t+1
因为t>0，所以t+1/t≧2；
所以：m≧3；
（2）关键要读懂数学语言，能够把它翻译成文字语言；
其实“任意x1属于（2，+∞)，存在x2属于(2,+∞) 使得f(x1)=g(x2)”这句话，
想要表达的本质意思是：“f(x)的值域包含于g(x)的值域”。
由（1）f(x)的值域为[3,+∞)，
要使“f(x)的值域包含于g(x)的值域”，则g(x)的最小值g(x)min≦3；
g(x)=a^x ，a>1，x>2；所以g(x)min>g(2)；
所以：g(2)<3
（不能取等号，当g(2)=3时，g(x)>3，不满足“f(x)的值域包含于g(x)的值域”）
即：a^2<3；得：-√3<a<√3；
又因为a>1
所以：1<a<√3

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

①f(x)=(x²-3x+3)/(x-2)=[(x-2)(x-1)+1]/(x-2)
=x-1 +1/(x-2)=1+x-2 +1/(x-2) ≥1+2√[(x-2)•1/(x-2)]=3
所以f(x) 在x>2时的值域为[3，+∞）
由条件 存在x0∈(2,+∞) ，使 f(x0)=m，则m的取值范围就是f(x)的值域，从而m≥3
②对任意的x1∈(2,+∞)，存在 x2∈(2,+∞)，使f(x1)=g(x2)，这表明f(x)的值域是g(x)的值
域的子集，从而 a²<3 ， 1<a<√3,