Question

初二数学 四边形性质探索

如图，△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长
①分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，试说明四边形AEGF是正方形；
②设AD=x，利用勾股定理建立关于x的方程模型

Answer 1

AD的长：
设AD与CE交于M点，
M为三角形ABC的垂心，
连结BM并延长交AC于F点，
则BF垂直AC，
三角形BMD与三角形BCF相似，有：
MD/CF＝BM/BC（式1）。
三角形BMD与三角形ACD相似，有：
MD/DC＝BD/AD（式2）。
同时，因角BAC=45度，则有角ABF＝45度，
而三角形BME与三角形CMF相似，角MCF也为45度，则
2倍的CF平方＝MC平方＝MD平方+DC平方＝MD平方+16，
BM平方＝MD平方+BD平方＝MD平方+36。
将（式1）两端均平方得
MD平方/CF平方＝BM平方/BC平方（式3），
将CF平方与BM平方代入（式3），得
MD平方的平方－148MD平方+576＝0
配方，移项，得
(MD平方－74)的平方＝4900
MD平方＝144或MD平方＝4，解得MD＝12或2
将MD＝12代入（式2）得AD＝2，明显不合理，舍去。
将MD＝2代入（式2）得
AD＝12。

（1)根据轴对称图形特点，有∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°
∠EAB+∠BAD+∠DAC+∠CAF=45°×2=90°，四边形EAFG有三个直角，是矩形
又有AE=AD=AF。两条邻边相等的矩形是正方形。

(2)EB=BD=2,BG=X-2;FC=CD=3,CG=X-3
所以（X-2)²+(X-3)²=(2+3)²,X1=6,X2=-1(舍）