Question

已知函数f(x)=log1/2(ax^2+3x+a+1)

问：对于x属于[1,2],不等式（1/2）^f(x)-3x>=2恒成立，求正实数a的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=log‹1/2›(ax²+3x+a+1) ；对于x∈[1，2],不等式(1/2)^f(x)-3x≧2恒成立，求正实数a的取值范围
解：(1/2)^f(x)-3x=(1/2)^[log‹1/2›(ax²+3x+a+1)]-3x=ax²+3x+a+1-3x=ax²+a+1≧2
即已知不等式 ax²+a-1≧0 在区间[1，2]内恒成立，设y=ax²+a-1，由于a是正实数，故y的图像
是一条开口朝上的抛物线，其顶点为(0，a-1)，故区间[1，2]在其对称轴的右侧，为了使不等式
y=ax²+a-1≧0 在区间[1，2]内恒成立，必须使y(1)=2a-1≧0，即a≧1/2. 这就是a的取值范围。

Answer 2

（1/2）^[f(x)-3x]>=2
即：
(1/2)^[log(1/2)(ax^2+3x+a+1)-log(1/2)(1/2)^3x]>=2
(ax^2+3x+a+1)/(1/2)^3x>=2
ax^2+3x+a+1>=2*2^(-3x)
ax^2+3x+a+1>=2^(1-3x)
因为1<=x<=2,所以：-5<=1-3x<=-2
所以ax^2+3x+a+1>=2^(-2)=1/4
ax^2+3x+a+3/4>=0
则有：
a*1^2+3*1+a+3/4>=0,即可.

Answer 3

∵（1/2）^f(x)-3x>=2恒成立∵
∴ f(x)-3x ﹤=-1
(⊙_⊙?) a 在哪里呢？