Question

已知a属于R,函数f(x)=x丨x-a丨

（1）当a=4时，写出函数y=f（x）的单调递增区间
（2）求函数y=f（x）在区间[1，4.5]上的最小值
（3）设a≠0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围（用a表示）

Answer 1

解：（1）、y=x|x-2|
当x>=2时，y=x^2-2x=(x-1)^2-1,在[2，+∞）上递增；
当x<2时，y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1,在（-∞，1]上递增；
（2）、函数在(-∞,a/2),(a,+∞)上递增;在(a/2,a)上递减;
所以当a/2>=或a<=即当a>=4或a<1时,在[1,2]上递增,
当1<a<4时,在[1,2]上递减;
所以a>=4时,最小值为f(1)=a-1;
a<=1时,最小值为f(1)=1-a;
1<a<=2时,最小值为f(2)=2-a;
2<a<4时,最小值为f(2)=a-2;
(3)、函数在(-∞,a/2),(a,+∞)上递增;在(a/2,a)上递减
n<a/2,m>a

Answer 2

（1）a=4时，①x≥4时f(x)=x²-4x=(x-2)²-4 增区间为[4,﹢∞)
②x≤4时f(x)=-x²+4x=-(x-2)²+4 增区间为(-∞,2]减区间为[2,4]
（2）1＜x≤4时，最大值为4，最小值0
4＜x＜9/2时，最小值大于0，最大小于9/4
∴当a=4时，求f（x）在区间（1，9/2)上的最大值为4，最小值为0
（3）x≥a时，f(x)=x²-ax=(x-a/2)²-a²/4,x≤a时f(x)=-x²+ax=-(x-a/2)²+a²/4
下面讨论a/2与（m,n）的位置关系即可 注意f(x)的最值不能在f(m)、f（n）取得