已知a是实数,函数f(x)=2ax平方+2x-3-a如果函数Y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值
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1. a=0时 f(x)=2x-3=0 解得x=3/2>1 不成立
2. a≠0时 判别式=2²+4*2a*(3+a)≥0
2a²+6a+1≥0
解得a≤(-3-√7)/2或a≥(-3+√7)/2
1)若[-1,1]只有一个零点,则有:
f(1)f(-1)<=0, 即 (a-1)(a-5)<=0, 得1=<a<=5,
此种情况为: 1=<a<=5
2)若[-1,1]有两个零点,则对称轴在[-1,1]内, 即-1<-1/(2a)<1, 得:a>1/2 or a<-1/2
且有:a>0时有 f(1)>=0, f(-1)>=0,得:a>=5
a<0时有 f(1)<=0, f(-1)<=0,得:a<=1,因a为负,所以a<=(-3-√7)/2
此种情况为: a>=5 or or a<=(-3-√7)/2
综合上面2种情况,得:a>=1 or a<=(-3-√7)/2
2. a≠0时 判别式=2²+4*2a*(3+a)≥0
2a²+6a+1≥0
解得a≤(-3-√7)/2或a≥(-3+√7)/2
1)若[-1,1]只有一个零点,则有:
f(1)f(-1)<=0, 即 (a-1)(a-5)<=0, 得1=<a<=5,
此种情况为: 1=<a<=5
2)若[-1,1]有两个零点,则对称轴在[-1,1]内, 即-1<-1/(2a)<1, 得:a>1/2 or a<-1/2
且有:a>0时有 f(1)>=0, f(-1)>=0,得:a>=5
a<0时有 f(1)<=0, f(-1)<=0,得:a<=1,因a为负,所以a<=(-3-√7)/2
此种情况为: a>=5 or or a<=(-3-√7)/2
综合上面2种情况,得:a>=1 or a<=(-3-√7)/2
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解:由题目知
f(x)的图象是抛物线,由于在区间[-1,1]上有零点,
即说明f(-1)与f(1)一个在x轴之上,一个在x轴之上
故有 f(1)*f(-1)<0
即 (2a+2-3-a)(2a-2-3-a)<0
即 (a-1)(a-5)<0
解得 1<a<5
即为所求
f(x)的图象是抛物线,由于在区间[-1,1]上有零点,
即说明f(-1)与f(1)一个在x轴之上,一个在x轴之上
故有 f(1)*f(-1)<0
即 (2a+2-3-a)(2a-2-3-a)<0
即 (a-1)(a-5)<0
解得 1<a<5
即为所求
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这个以前答过,广东高考题,
2ax²+2x-3-a=0
a(2x²-1)=3-2x
a=(3-2x)/(2x²-1)
此解析式需要考虑分母不为0的情形
考虑g(x)=(2x²-1)/(3-2x)的值域
g'(x)=[4x(3-2x)+2(2x²-1)]/(2x²-1)²=0
12x-8x²+4x²-2=0
2x²-6x+1=0
x=(6±2√7)/4
=(3±√7)/2 舍正
极值点 x0=(3-√7)/2
g(x) 在【-1,x0]上递减,在【x0,1]上递增
g(-1)=1/5
g(x0)=(2x0²-1)/(3-2x0)=√7-3
g(1)=1
所以 √7-3≤1/a≤1
(√7-3<0)
所以 a≤-(√7+3)/2或a≥1
2ax²+2x-3-a=0
a(2x²-1)=3-2x
a=(3-2x)/(2x²-1)
此解析式需要考虑分母不为0的情形
考虑g(x)=(2x²-1)/(3-2x)的值域
g'(x)=[4x(3-2x)+2(2x²-1)]/(2x²-1)²=0
12x-8x²+4x²-2=0
2x²-6x+1=0
x=(6±2√7)/4
=(3±√7)/2 舍正
极值点 x0=(3-√7)/2
g(x) 在【-1,x0]上递减,在【x0,1]上递增
g(-1)=1/5
g(x0)=(2x0²-1)/(3-2x0)=√7-3
g(1)=1
所以 √7-3≤1/a≤1
(√7-3<0)
所以 a≤-(√7+3)/2或a≥1
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