Question

在三角形ABC,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且(a方+b方)sin(A-B)=(a方-b方)sinC,

(1)若a=3，b=4，求向量CA+向量CB的模
（2）若C=60度，三角形ABC面积为根号3，求向量AB×向量BC+向量BC×向量CA+向量CA*向量AB的值

Answer 1

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA a/sinA=b/sinB
(a²+b²)(sinAcosB-sinBcosA)=(a²-b²)(sinAcosB+sinBcosA)
-a²sinBcosA+b²sinAcosB=-b²sinAcosB+a²sinBcosA
b²sinAcosB=a²sinBcosA 将sinA=asinB/b 代入
可得cosA=b*cosB/a 将a=bsinA/sinB代入
可得cosAsinA＝cosBsinB， ∴ sin2A＝sin2B
所以2A与2B相等或互补 即A与B相等或互余
1、sinA=asinB/b=3sinB/4≠sinB
所以A与B不相等，所以A+B=90° 即 C=90°
因为△ABC为RT△，所以I向量CA+向量CBI=IABI 矩形对角线相等
勾股定理 c=√(a²+b²)=5 即I向量CA+向量CBI=5
2、 面积S=0.5ab*sinC=√3 ab=2√3/sinC=4
c²=a²+b²-2ab*cosC=a²+b²-8*0.5=a²+b²-4
因为C=60°，所以A+B=120°≠90°，所以A与B不互余
所以A=B=120°/2=60° 即△ABC为等边三角形，所以a=b=c
所以c²=c²+c²-4 即c=2，a=b=c=2
向量AB×向量BC+向量BC×向量CA+向量CA*向量AB
=IABI*IBCI*cos(180°-60°)+IBCI*ICAI*cos(180°-60°)+ICAI*IABIcos(180°-60°)
=3*4cos120°=-6
（=向量AB*(向量BC*向量CA)+向量BC×向量CA
=向量AB*向量BA+向量BC×向量CA
=c²*cos180°+a*b*cos120°
=-4-2=-6）括号内为另一做法，一样……
要是有哪一步不清楚的话，HI 我啊……
希望能帮到你哦……

Answer 2

向量AB×向量BC+向量BC×向量CA+向量CA*向量AB
=IABI*IBCI*cos(180°-60°)+IBCI*ICAI*cos(180°-60°)+ICAI*IABIcos(180°-60°)
=3*4cos120°=-6

Answer 3

（1）CA+CB向量的模=b+a=4+3=7