Question

斐波那契数列通项公式怎么推出来的？

An = {[(1 + √5)/2]^n - [(1 - √5)/2]^n}/√5

Answer 1

由an+2= an+1+an
有an+2- an+1- an=0
构造特征方程 x2-x-1=0,
令它的两个根是p,q 有pq=-1 p+q=1

下面我们来证 {an+1-pan}是以q为公比的等比数列。

为了推导的方便，令a0=1，仍满足an+2= an+1+an

an+1-pan
= an+an-1 -pan
= (1-p) an-pqan-1
=q(an-pan-1)
所以：{an+1-pan}是以q为公比的等比数列。

a1-pa0
=1-p=q

所以 an+1-pan=q*qn=qn+1 ①

同理 an+1-qan=p*pn=pn+1 ②

①-②:(q-p)an= qn+1-pn
因p=(1-√5)/2,q=(1+√5)/2，q-p=√5，所以
an=(1/√5){[(1+√5)/2]n+1-[(1-√5)/2] n+1}
可验证a0，a1也适合以上通项公式。