Question

不等式的证明问题

已知：a > 0, b > 0 且 a+b=1.
求证：a^a * b^b>=1/2
(该命题是否能扩展到n项的情形呢？)

Answer 1

题目是不是求证：a²+b²≥1/2
若是，证明方法是很多的，比如：
证法一：因为 1=(a+b)²=a²+b²+2ab≤a²+b²+a²+b²=2(a²+b²)
所以a²+b²≥1/2
证法二：a²+b²= a²+（1-a)²=2a²-2a+1=2(a-1/2)²+1/2≥1/2
证法三：因为 a,b属于(0,正无穷),且a+b=1,
设a=1/2 -x, b=1/2+x
则 a²+b²= (1/2-x)²+(1/2+x)²
=1/4-x+x²+1/4+x+x²
=1/2+ 2x²≥1/2
证法四：由基本不等式 得 a²+(1/2)²≥a
b²+(1/2)²≥b
两式相加 ，得 a²+b²+1/2≥1
即a²+b²≥1/2
下面讨论该命题是否能扩展到n项的情形呢？
讨论一：将字母个数扩展到n个。
先看在条件 a > 0,,b > 0 ，c>0且 a+b+c=1的情况下，
可以证明：.a²+b²+c²≥1/3
a²+(1/3)²≥(2/3)a
b²+(1/3)²≥(2/3)b
c²+(1/3)²≥(2/3)c
三式相加 ，得 a²+b²+c²+1/3≥2/3
从而 a²+b²+c²≥1/3
推广：设a1,a2,…,an∈R+，且a1+a2+…+an=1
则 (a1)²+(a2)²+…+(an)²≥1/n
证法和上面是一样的。
讨论二：将次数扩展到n次方
在条件 a > 0, b > 0 且 a+b=1不变的情况下，.
先证明：a³+b³≥1/4
a³+(1/2)³+(1/2)³≥3•(1/2)•(1/2)•a=(3/4)•a
b³+(1/2)³+(1/2)³≥3•(1/2)•(1/2)•b=(3/4)•b
两式相加 ，得 a³+b³+1/2≥3/4
从而 a³+b³≥1/4
推广：a^n+b^n≥(1/2)^(n-1)
这个结论可以用“n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”来证明。

Answer 2

楼上虽然打了不少..但貌似他的题目不是那样的。
要证(a^a)*(b^b)>=1/2
两边取对数即证:alna+blnb>=ln(1/2)
构造函数f(x)=xlnx
f''(x)=1/x>0所以f(x)下凸，由下凸函数的性质(即琴生不等式)得
[f(a)+f(b)]/2>=f[(a+b)/2]
即(alna+blnb)/2>(1/2)*ln(1/2)于是得证。
推广到n元也是同样的思路，ai>0,i=1,2,3....且a1+a2+...an=1
证：(a1^a1)(a2^a2)...(an^an)>=1/n
取对数即证a1lna+a2lna2+....anlnan>=ln(1/n)
构造f(x)=xlnx因为f(x)下凸
于是[f(a1)+....f(an)]/n>=f[(a1+a2+...an)/n]=(1/n)*ln(1/n)
所以f(a1)+f(a2)+.....f(an)>=ln(1/n)
所以得证，和2元形式的思路一模一样。

Answer 3

以传统的表演不形象，而且还会引起一些学生的效仿，这样会事得其反
我建议你以舞蹈为表演形式，使其形象化，暴力的成分少了些，更有艺术性。我推荐你背景音乐为MJ的<Beat it>这首歌就是反应这方面问题的，你可以参照歌曲的MV，以一个激烈的舞蹈开头，把演员分成两组，一组弱小，一组强势，他们在对唱，身体上能有一些接触，要从眼神来表达情况，因此眼神的表演和抓拍很重要，激烈的舞蹈过后，应该换一个比较忧郁的音乐，舞蹈要舒缓，眼神里要透着思考，来表达对暴力的忏悔和反思。最后的音乐背景要欢快，两组人要友好的跳，主要强调肢体语言，在和睦中帮助。