Question

数学函数

设计一个水槽,其横截面为等腰梯形，要求满足AB+BC+CD=a截面面积y和腰长x之间的函数关系式,并求出这个函数的定义域和值域.（常数）),∠ABC=120° ,写出横截面面积y和腰长x之间的函数关系式,并求出这个函数的定义域和值域.

Answer 1

解答：
底BC＝a-2x，梯形的高h＝x*sin60°=(根3)x/2.
水槽上口宽m＝BC+2(x*cos60°)=a-x,
∴y＝(1/2)(BC+m)h=(根3/4)(2a-3x)x.
注意BC＞0，所以a-2x＞0，所以x＜a/2,
又水槽上口宽m＝a-x＞0，所以x＜a,
而且m+BC＝2a-3x＞0，所以x＜2a/3;
所以横截面面积y和腰长x之间的函数关系式和定义域是
y＝(根3/4)(2a-3x)x，(a/2＜x＜2a/3)。

下面求值域：注意
y＝(根3/4)(2ax-3x^2)，
取t＝2ax-3x^2＝-3(x-a/3)^2+a^2/3.
所以这个二次函数的对称轴是x＝a/3,
而定义域是a/2＜x＜2a/3，
所以当x=a/2时,t(最大)=a^2/4；
当x=2a/3时,t(最小)=0；
所以0＜t≤a^2/4；
所以0＜y≤(根3)a^2/16.
即值域是(0,(根3)a^2/16].