Question

如图，△ABC中，AB＞AC，点D,E分别在AB,AC上，且AD=AE，DE的延长线交BC的延长线于P点，求证：PC：PB=CE:BD

Answer 1

延长AC到F使AF=AB

因AD=AE，AF=AB

所以线DP∥BF，BD=EF

所以CE:EF=PC:PB

所以PC:PB=CE:BD

Answer 2

证明：过C点作CF∥BD
因为∠P=∠P（公共角）
又因为CF∥BD（作图）
所以∠B=∠FCP（两直线平行，同位角相等）
所以△PCF∽△PBD（两个角对应相等的两个三角形相似）
所以PC：PB=CF：BD（相似三角形对应边成比例）
因为AD=AE（已知）
所以∠ADE=∠AED（等边对等角）
因为CF∥BD（作图）
所以∠CFE=∠ADE（两直线平行，内错角相等）
因为∠AED=∠CEF（对顶角相等）
所以∠CEF=∠CFE（等量代换）
所以CF=CE（等角对等边）
所以PC：PB=CE：BD（等量代换）

Answer 3

证明：
作CF//AB
则PC：PB=CF：BD
∵CF//AB
∴∠CFE=∠ADE
∵AD=AE
∴∠ADE=∠AED
∵∠AED=∠CEF
∴∠CFE=∠CEF
∴CF=CE
∴PC：PB=CE：BD
【有的同学平行成比例不知道，只会相似，下面做个补充】
∵CF//AB
∴∠PFC=∠PDB，∠PCF=∠PBD
∴⊿PCF∽⊿PBD（AA‘）
∴PC：PB=CF：BD

Answer 4

做辅助线，CF//BD，CF交PD于F
∴ △ADE≌△CFE △PFC≌△PDB
∴ PC：PB=CF:BD
又∵AD=AE
∴ CE=CF
∴PC：PB=CE:BD