Question

高数洛必达法则(罗必塔)求极限

(1+x)的x分之一次幂减e的整体除以x求当x趋于零时的极限

Answer 1

解 以下过程的第三步用到了等价无穷小的替换，

第五步用的是罗比达法则,其它都是恒等变换.

Answer 2

lim(x→0）[（1+x）^(1/x)-e]/x=lim(x→0）{[exp[ln（1+x）/x]-e}/x
利用洛必达法则，分子分母同时求导得，lim(x→0）{[exp[ln（1+x）/x]-e}/x
=lim(x→0）exp[ln（1+x）/x]*[ln(1+x)/x]'

因为利用洛必达法则可得lim(x→0）ln（1+x）/x=1
所以lim(x→0）exp[ln（1+x）/x]*[ln(1+x)/x]'=e*lim(x→0）[ln(1+x)/x]'
=e*lim(x→0）[1-1/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
再次运用洛必达法则，e*lim(x→0）[1-1/(1+x)-ln(1+x)]/x^2=e*lim(x→0）[[1/(1+x)^2-1/(1+x)]/2x
=-e/2
因此 lim(x→0）[（1+x）^(1/x)-e]/x=-e/2

Answer 3

等于-e/2 手机打字麻烦，没法给你写全部步骤，提示你一下，就是把(1＋x)的x分之一次幂化成e^1/x×ln(1+x) 然后后面不是有个e吗？此两项同时提出一个e,就出显，e^u-1的形式，这个u驱于0,e^u-1等价于u,再用罗必达，很轻松就算出来了！