Question

用换元法求不定积分

∫(x/x+1)^1/2dx ∫上面是3，下面是0
∫1/(3+2cosx)dx ∫上面是π/2，下面是0

Answer 1

正确答案如下，楼上第一题仍然计错。

Answer 2

1、∫[0，3] (x/x+1)^1/2dx
设u=√[x/(x+1)],
x=u^2/(1-u^2),
dx=2udu/(1-u^2)^2,x=0,u=0,x=3,u=√3/2，
原式=∫[0，√3/2]u*2udu/(1-u^2)^2=2∫[0，√3/2]u^2du/(1-u^2)^2
设u=sint,du=costdt,u=0,t=0,u=√3/2，t=π/3，
原式=2∫[0，π/3](sint)^2*costdt/(cost)^4
=2∫[0，π/3][1-(cost)^2](sect)^3dt
=2∫[0，π/3][ (sect)^3-sect]dt
∫(sect)^3dt=∫sectdtant=sect*tant-∫tantdsect=sect*tant-∫(tant)^2sectdt
= sect*tant- ∫[(sect)^3-sect]dt
2∫(sect)^3dt= sect*tant+∫sectdt,
∫(sect)^3dt=( sect*tant+∫sectdt)/2,
原式= [0，π/3] ( sect*tant)/2-∫[0，π/3]∫sectdt)
= [0，π/3] ( sect*tant)/2-ln|tant+sect|[0，π/3]
=√3-ln(2+√3)。
2、∫[0，π/2]1/(3+2cosx)dx
令u=tan(x/2),x=2arctanu,
万能公式cosx=(1-u^2)/(1+u^2)
dx=2du/(1+u^2),
x=0,u=0,x=π/2,u=1,
原式=∫[0，1]2du/(1+u^2)/[3+2(1-u^2)/(1+u^2)]
=2∫[0，1]du/(5+u^2)
=2∫[0,1]du/(5+u^2)
=(2√5/5) ∫[0，1]d（u/√5）/[1+（u/√5）^2]
=(2√5/5)arctan(u/√5)[0，1]
=(2√5/5)arctan(√5/5)。