Question

已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,一条准线方程为x=9/4,且与直线y=(x-4)/3相交所得线段的中点的横坐

标为-2/3，求双曲线的方程

Answer 1

直线y=(x-4)/3，
设双曲线方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1,
右准线方程为:x=9/4,x=a^2/c,a^2/c=9/4,c=4a^2/9,
直线中点纵坐标,y0=(-2/3-4)/3=-14/9,
设直线与双曲线交点为A（x1,y1),B(x2,y2),
x1^2/a^2-y1^2/b^2=1,(1)
x2^2/a^2-y2^2/b^2=1,(2)
(1)-(2)
b^2/a^2-[(y1-y2)/(x1-x2)]*[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=0
b^2/a^2-(1/3)*y0/x0=0,
b^2/a^2-(1/3)*(-14/9)/(-2/3)=0,
(b/a)^2=7/9，
b^2=7a^2/9,
a^2+7a^2/9=(4a^2/9)^2,
a^2=9,
b^2=7,
∴双曲线方程为：x^2/9-y^2/7=1.

追问

有简单点的方法吗？有请赐教。谢谢