Question

如图,矩形ABCD中,AB=2根号3,AD=4,M是AD的中点。动点E在线段AB上运动。连接EG,FG,在点E运动的过程中

三角形GEF是否能成为等边三角形？

Answer 1

因MG是EF的垂直平分线，所以GF=GE

过点M做MN垂直BG交BG于点N，则∠1=∠2  RtΔEAM≌RtΔGNM

设AE=a，因AM=2，MN=AB=2√3  则HG=√3a，BG=2+√3a

因BE=2√3-a，

所以EM^2=2^2+a^2=4+a^2

       EG^2=(2√3-a)^2-(2+√3a)^2=4(a^2+4)

所以EM^2: EG^2=(4+a^2):[4(a^2+4)]=1:4， EM: EG=1:2

所以∠EGM=30度，∠GEM=60度，

所以ΔEGF为等边三角形

Answer 2

是的，我验证过了。 但你的图比例错了。 从两个阴影三角形全等证明开始，MG就是EF的处置平分线。在证明其他三角形全等，就可以了。

Answer 3

证明：
由MG垂直于EF，且可证明EM=MF,则GM为三角形EGF的中线和高
所以EG=FG，三角形EGF是等腰三角形
设MG与DC交于H点
设AE=x，则由三角形AEM相似于三角形DMH可得DH=4/x
则HC=2倍根号3-4/x
再由三角形MDH相似于三角形GCH可得MD/CG=DH/CH
可得CG=x*根号3-2
则BG=BC+CG=4+x*根号3-2=2+x*根号3
又BE=AB-AE=2倍根号3-x
所以GE^2=BG^2+BE^2=16+4x^2
EM^2=AE^2+ME^2=4+x^2
所以GE^2/EM^2=（16+4x^2）/（4+x^2）=4
所以GE/EM=2
所以交MGE=30度
所以GM是角EGF的角平分线
所以角EGF=60度
所以三角形EGF为等边三角形