Question

如图，在梯形ABCD中AB=7，CD=1,AD=BC=5,点M，N分别在边AD,BC上运动，并保持MN平行于AB，ME垂直于AB,NF垂直

AB=7，CD=1,AD=BC=5,点M，N分别在边AD,BC上运动，并保持MN平行于AB，ME垂直于AB,NF垂直于AB,垂足分别为E,F
（1）求梯形ABCD的面积
（2）求四边形MENF面积的最大值
（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积

Answer 1

解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H，

∵AB∥CD，

∴DG=CH，DG∥CH．

∴四边形DGHC为矩形，GH=CD=1．

∵DG=CH，AD=BC，∠AGD=∠BHC=90°，

∴△AGD≌△BHC（HL），

∴AG=BH= 12×（7-1）=3，

∵在Rt△AGD中，AG=3，AD=5，

由勾股定理得：DG=4，

∴S梯形ABCD= 12（AB+CD）•DG，

= 12×（1+7）×4，

=16．

答：梯形ABCD的面积是16．

（2）解：∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，

∴ME=NF，ME∥NF．

∴四边形MEFN为矩形．

∵AB∥CD，AD=BC，

∴∠A=∠B．

∵ME=NF，∠MEA=∠NFB=90°，

∴△MEA≌△NFB（AAS）．

∴AE=BF，

设AE=x，则EF=7-2x，

∵∠A=∠A，∠MEA=∠DGA=90°，

∴△MEA∽△DGA，

∴ AEAG= MEDG．

∴ME= 43x，∴S矩形MEFN=ME•EF= 43x（7-2x）=- 83(x-74)2+ 496，

当x= 74时，ME= 73＜4，∴四边形MEFN面积的最大值 496，

答：四边形MEFN面积的最大值是 496．

Answer 2

解：
1、过点D作DP⊥AB，CQ⊥AB，分别交AB于P、Q
∵AD＝BC＝5,所以梯形ABCD为等腰梯形
∴∠A＝∠B
∴所以△DAP全等于△CBQ
∴AP＝BQ
∵DP⊥AB，CQ⊥AB
∴四边形BDQC为矩形
∴PQ＝CD＝1
∵AP+PQ+BQ＝AB，AB＝7
∴2AP＝6
∴AP＝3
∵AD＝5
∴DP＝4
∴梯形ABCD面积S＝（1+7）×4÷2＝16
2、设ME高度为X
∵DP⊥AB，ME⊥AB
∴ME∥DP
∴AE/ME＝AP/DP
∴AE＝3X/4
同理可得BF＝3X/4
∴EF＝AB-AE-BF＝7-3X/4-3X/4＝7-3X/2
∵MN∥AB
∴四边形MEFN为矩形
∴四边形MEFN面积S＝ME×EF＝（7-3X/2）X＝7X-3X²/2＝-3/2（X-7/6）²+49/24
当X＝7/6时，四边形MEFN面积最大为49/24.
3、
当ME＝EF时，为正方形
∵ME⊥AB，NF⊥AB且MN∥AB，ME＝EF
∴四边形MEFN为正方形
∴ME＝EF
∴X＝7-3X/2
X＝14/5
∴正方形MEFN的面积＝ME²＝（14/5）²＝196/25

Answer 3

在梯形ABCD中，AB平行CD，AB=7，CD=1，AD=CB=5，点M,N分别在AD,BC上运动，并保持MN平行AB,ME,NF分别垂直AB,垂足为E,F如果设AE=X,请用还有X的代数式表示四边形MEFN面积

Answer 4

1

Answer 5

解：
1∴PQ＝CD＝1
∵AP+PQ+BQ＝AB，AB＝7
∴2AP＝6
∴AP＝3
∵AD＝5
∴DP＝4
∴梯形ABCD面积S＝（1+7）×4÷2＝16
2、设ME高度为X
∵DP⊥AB，ME⊥AB
∴ME∥DP
∴AE/ME＝AP/DP
∴AE＝3X/4
同理可得BF＝3X/4
∴EF＝AB-AE-BF＝7-3X/4-3X/4＝7-3X/2
∵MN∥AB
∴四边形MEFN为矩形
∴四边形MEFN面积S＝ME×EF＝（7-3X/2）X＝7X-3X²/2＝-3/2（X-7/3）²+49/6
当X＝7/3时，四边形MEFN面积最大为49/6.
3、
当ME＝EF时，为正方形
∵ME⊥AB，NF⊥AB且MN∥AB，ME＝EF
∴四边形MEFN为正方形
∴ME＝EF
∴X＝7-3X/2
X＝14/5
∴正方形MEFN的面积＝ME²＝（14/5）²＝196/25