Question

如图所示,四棱锥P-ABCD的地面是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PD的中点

四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA ⊥ 平面ABCD,E,F 分别是AB,PD的中点，又二面角P-CD-B为45°，设AD=2，CD=2√2，求点A到平面PEC的距离。

Answer 1

利用棱锥体积公式来求点A到平面PEC的距离！
解：设点A到平面PEC的距离为d，作PC中点G，连结EG
因为PA⊥ 平面ABCD，所以PA⊥CD
又CD⊥AD，且AD.PA是平面PAD内的两条相交直线
所以CD⊥平面PAD
则PD⊥CD
所以∠PAD就是二面角P-CD-B的平面角
则可得∠PAD=45°
所以Rt△PAD是等腰直角三角形
即PA=AD=2
又在矩形ABCD中，AB=CD=2√2
则由E是AB中点得：AE=EB=√2
所以在Rt△PAE中，由勾股定理易得：PE=√6
同理在Rt△BCE中，得到：CE=√6
所以PE=CE，则由点G是PC中点得：EG⊥PC
而在Rt△PCD中，PD=2√2，CD=2√2，则PC=4
所以在Rt△EGC中，由勾股定理得：EG=√2
因为V四面体P-AEC=(1/3)*PA*S△AEC=(1/3)*d*S△SEC
所以d=PA*S△AEC/S△SEC
又PA=2，S△AEC=(1/2)*AE*BC=(1/2)*√2*2=√2，S△SEC=(1/2)*EG*PC=(1/2)*√2*4=2√2
则d=2*√2/(2√2)=1
这就是说点A到平面PEC的距离为1。