Question

证明：若n阶矩阵A的列向量线性无关，则A^2的列向量也线性无关。

Answer 1

A^2=AA

假设有A^2x=AAx=0，则有Ax=0，R(A)=n，所以x只有零解，所以有A^2*0=0，所以R(A^2)=n,故矩阵A^2的列向量线性无关。

证明：考虑齐次线性方程组

ABx=A(Bx)=0

由于A的列向量组线性无关，所以Bx=0

又由B的列向量组线性无关，所以x=0

所以ABx=0只有零解

所以AB的列向量组线性无关。

几何表示：

向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量，记作长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。箭头所指的方向表示向量的方向。

Answer 2

A^2=AA
假设有A^2x=AAx=0，则有Ax=0，R(A)=n，所以x只有零解，所以有A^2*0=0，所以R(A^2)=n,故矩阵A^2的列向量线性无关

Answer 3

方阵A的列线性无关等价于det(A)非零，也等价于det(A^2)=det(A)^2非零

追问

不懂