Question

高一数学三角函数

已知sin（3π-α）=根号2cos（3π/2+β），根号3cos（-α）= 负根号2cos（π+β），且0＜α，β＜π，求sinα，cosβ

Answer 1

sin（3π-α）=根号2cos（3π/2+β）则sinα=根号2sinβ——①(诱导公式的利用)，
3cos（-α）= 负根号2cos（π+β），则cosα=1/3 根号2cosβ——②(诱导公式的利用)，
将①②两式平方相加，左边等于1，很快就可以得出sin²β=7/16,因为0＜α，β＜π
所以 sinβ=四分之根号7，带入①式，可得sinα=四分之根号14
cosβ=正负四分之三

Answer 2

sin（3π-α）=sin(π-α)=sin α=根号2cos（3π/2+β）=根号2 cos(β-π/2)=根号2sin β
即 sin α=根号2sin β >0，
根号3cos（-α）= 根号3 cos α =负根号2cos（π+β）=根号2 cos β
即cos α =(根号2/3)cos β
2等式求平方和，可得
1=2sin^2 β +2/3*cos^2 β，得cos^2 β=3/4，cos β=±根号3/2，cosα=±根号2/2，由于α在第一和第二象限，所以sin α=根号2/2

Answer 3

平方法(详见参考资料)
sin(3π-α)=√2cos(3/2π+β),
sinα=√2sinβ,①
√3cos(-α)=-√2cos（π+β）,
√3cosα=√2cosβ,②
①^2+②^2
sin^2α+3cos^2α=2,
解得sinα=±√2/2,
又α，β∈（0，π）,
∴sinα=√2/2. 代入①, sinβ=1/2.，
由②知,cosα与cosβ同号.
∴α1=π/4,β1=π/6;
α2=3π/4,β2=5π/6.