Question

高中椭圆求离心率

已知椭圆的右焦点F（m，0），左、右准线分别为L1：x=-m-1，L2：x=m+1，且L1、L2分别与直线y=x相较于A、B两点。
求：当AF（向量）点乘FB（向量）＜7，求椭圆离心率的取值范围。

Answer 1

∵椭圆的右焦点F(m，0)，
∴m＞0
L1、L2分别与直线y=x相较于A、B两点
∴设A(-m-1，-m-1)，B(m+1，m+1)
∴向量AF=(2m+1，m+1)，向量FB=(1，m+1)
∴向量AF·向量FB=2m+1+(m+1)²＜7
解得-5＜m＜1
∴0＜m＜1

c=m，……①
a²/c=m+1……②
②/①，得
a²/c²=(m+1)/m
∴c²/a²=m/(m+1)
即e²=m/(m+1)= 1 - [1/(m+1)]
∵0＜m＜1
∴1＜m+1＜2
∴1/2＜1/(m+1)＜1
∴-1＜ -1/(m+1)＜ -1/2
∴0 ＜1 - [1/(m+1)] ＜ 1/2
即0＜e²＜1/2
∴0＜e＜√2/2