Question

在△ABC中，∠A=90度，点D在线段BC上，∠EDB=1/2∠C,BE⊥DE,垂足为E，DE与AB相交于点F

（1）AB=AC时（图1）探究线段BE与FD的数量关系，证明
（2）当AB=kAC（图2），球BE：FD的值（用含k的式子表示）

Answer 1

(1)在△BEF和△DEB中
∵∠E=∠E=90°
∠EBF=∠EDB=22.5°
∴△BEF∽△DEB
如图：作BG平分∠ABC，交DE于G点，
∴BG=GD△BEG是等腰直角三角形
设EF=x，BE=y，
则：BG=GD=2y
FD=2y+y-x
∵△BEF∽△DEB
∴EFBE=BEED
即：xy=yy+2y
得：x=（2-1）y
∴FD=2y+y-（2-1）y=2y
∴FD=2BE．

（2）如图：作∠ACB的平分线CG，交AB于点G，
∵AB=kAC
∴设AC=b，AB=kb，BC=1+k2b
利用角平分线的性质有：
ACBC=AGBG
即：b1+k2b=AGkb-AG
得：AG=kb1+1+k2
∵∠EDB=12∠ACB
∴tan∠EDB=tan∠ACG=k1+1+k2
∵∠EDB=12∠ACB
∠ABC=90°-∠ACB
∴∠EBF=90°-∠ABC-∠EDB=12∠ACB
∴△BEF∽△DEB
∴EF=k1+1+k2BE
ED=1+1+k2kBE=EF+FD
∴FD=1+1+k2kBE-k1+1+k2BE=2kBE．
∴BEFD=k2．

Answer 2

（2）过点D作DG∥AC，交BF的延长线于点G，与BA交于点N，
∵DG∥AC，
∴∠GDB=∠C，
∵∠EDB=1 2 ∠C，
∴∠EDB=∠GDE，
∵BE⊥DE，
∴∠BED=∠DEG，
DE=DE，
∴△DEG≌DEB，
∴BE=1 2 GB，∠BND=∠GNB=90°，∠EBF=∠NDF，
∴△GBN∽△FDN，
∴GB FD =NB DN ，即BE FD =BN 2DN ，
又∵DG∥AC，
∴△BND∽△BAC，
∴BN AB =DN CA ，即BN DN =AB AC =k，
∴BE FD =K 2 ．

Answer 3

过D做∠BDE的两倍∠BDY，延长BE交DY于G。证明ebd egd全等gfd bfd全等可得！

Answer 4

：（1）①∵AB=AC∠A=90°
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠EDB=12∠C
∴∠EDB=22.5°
∵BE⊥DE
∴∠EBD=67.5°
∴∠EBF=67.5°-45°=22.5°
②在△BEF和△DEB中
∵∠E=∠A=90°
∠EBF=∠EDB=22.5°
∴△BEF∽△DEB
如图：作BG平分∠ABC，交DE于G点，
∴BG=GD△BEG是等腰直角三角形
设EF=x，BE=y，
则：BG=GD=2y
FD=2y+y-x
∵△BEF∽△DEB
∴EFBE=BEED
即：xy=yy+
2y
得：x=（2-1）y
∴FD=2y+y-（2-1）y=2y
∴FD=2BE．

Answer 5

过D做∠BDE的两倍∠BDY，延长BE交DY于G。证明ebd egd全等gfd bfd全等