Question

已知顶点在原点 焦点在x轴的正半轴上的抛物线被直线y=2x+1截得弦ab的长为根号15。 求抛物线方程 2 。 在抛

已知顶点在原点 焦点在x轴的正半轴上的抛物线被直线y=2x+1截得弦ab的长为根号15。
（1）求抛物线方程 .（2） 在抛物线的一段弧AOB上求一点P 使得三角形APB的面积最大

Answer 1

1）设抛物线方程为 y^2=2px（p>0），将 y=2x+1 代入得
(2x+1)^2=2px，即 4x^2+(4-2p)x+1=0， （*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则 Δ=(4-2p)^2-16>0，即 p>4。
由（*）得 x1+x2=(p-2)/2，x1*x2=1/4，
所以|AB|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=5(x2-x1)^2=5[(x1+x2)^2-4x1*x2]=5[(p-2)^2/4-1]=15，
解得 p=6，
因此，抛物线方程为 y^2=12x。

2）由已知，过P且与AB平行的直线L与抛物线相切。
设L方程为 y=2x+b，代入抛物线方程得 (2x+b)^2=12x，
即 4x^2+(4b-12)x+b^2=0， （**）
所以 Δ=(4b-12)^2-16b^2=0，
解得 b=3/2。
代入（**）可得 x=3/4，所以 y=2*3/4+3/2=3，
即 所求P点坐标为（3/4，3）。