Question

高等代数问题，求解！

设A是数域P上的n级矩阵，m（x）是P上的一个不可约多项式，且m（A）=0，证明：对P上的任意多项式f（x）必定f（A）=0或f（A）可逆。

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Answer 1

m(x)为P上不可约多项式，则对P上任意多项式f(x)，必有m(x)|f(x),或(m(x),f(x))=1,(高代课本第九面性质二)
1),f(x)=m(x)g(x)[存在g(x)属于P],f(A)=m(A)g(A),g(A)=0推出f(A)=0
2),f(x)u(x)+m(x)v(x)=1[存在这样的u,v属于P],
则f(A)u(A)+m(A)v(A)=E,m(A)=0,推出f(A)u(A)=E,又因为f（A）为n阶方阵，所以f（A）可逆
即证命题成立