Question

高等代数问题疑惑，求解答！

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Answer 1

用反证法。
设f(x)=(x-a1)(x-a2)....(x-an)-1=p(x)*q(x)，其中 p(x)、q(x)是次数不小于1的整系数多项式。
因为 ai(i=1，2，3.。。。n）是互不相同的整数，
且p(ai)*q(ai)=-1(i=1，2，3，。。。n)，
所以，p(ai)=1，q(ai)=-1 或 p(ai)=-1，q(ai)=1 (i=1，2，3，。。。，n）
因此，方程 [p(x)]^2=1 与 [q(x)]^2=1 均有n个不同的根a1，a2，。。。，an。
所以，由 f(x)的最高次项的系数为1可知，[p(x)]^2≡[q(x)]^2，
当n为奇数时，上式显然不可能成立，因为p(x)与q(x)的次数不可能相等。
当n为偶数时，只有p(x)与q(x)的次数都为n/2，且p(x)=1与p(x)=-1的根各有n/2个，
q(x)=1与q(x)=-1的根也各有n/2个，所以只有 p(x)=-q(x)。
但f(x)最高次项的系数为1，而 p(x)*q(x)=-[q(x)]^2的最高次项的系数为负数，矛盾。

因此，f(x)不可约。