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2011-11-17 · 知道合伙人教育行家
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用反证法。
设f(x)=(x-a1)(x-a2)....(x-an)-1=p(x)*q(x),其中 p(x)、q(x)是次数不小于1的整系数多项式。
因为 ai(i=1,2,3.。。。n)是互不相同的整数,
且p(ai)*q(ai)=-1(i=1,2,3,。。。n),
所以,p(ai)=1,q(ai)=-1 或 p(ai)=-1,q(ai)=1 (i=1,2,3,。。。,n)
因此,方程 [p(x)]^2=1 与 [q(x)]^2=1 均有n个不同的根a1,a2,。。。,an。
所以,由 f(x)的最高次项的系数为1可知,[p(x)]^2≡[q(x)]^2,
当n为奇数时,上式显然不可能成立,因为p(x)与q(x)的次数不可能相等。
当n为偶数时,只有p(x)与q(x)的次数都为n/2,且p(x)=1与p(x)=-1的根各有n/2个,
q(x)=1与q(x)=-1的根也各有n/2个,所以只有 p(x)=-q(x)。
但f(x)最高次项的系数为1,而 p(x)*q(x)=-[q(x)]^2的最高次项的系数为负数,矛盾。
因此,f(x)不可约。
设f(x)=(x-a1)(x-a2)....(x-an)-1=p(x)*q(x),其中 p(x)、q(x)是次数不小于1的整系数多项式。
因为 ai(i=1,2,3.。。。n)是互不相同的整数,
且p(ai)*q(ai)=-1(i=1,2,3,。。。n),
所以,p(ai)=1,q(ai)=-1 或 p(ai)=-1,q(ai)=1 (i=1,2,3,。。。,n)
因此,方程 [p(x)]^2=1 与 [q(x)]^2=1 均有n个不同的根a1,a2,。。。,an。
所以,由 f(x)的最高次项的系数为1可知,[p(x)]^2≡[q(x)]^2,
当n为奇数时,上式显然不可能成立,因为p(x)与q(x)的次数不可能相等。
当n为偶数时,只有p(x)与q(x)的次数都为n/2,且p(x)=1与p(x)=-1的根各有n/2个,
q(x)=1与q(x)=-1的根也各有n/2个,所以只有 p(x)=-q(x)。
但f(x)最高次项的系数为1,而 p(x)*q(x)=-[q(x)]^2的最高次项的系数为负数,矛盾。
因此,f(x)不可约。
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