Question

一道求积分的题

如果积分区间改成 [-π/2, π/2]，或者[-π，π]的对称区间，能积出来么？

Answer 1

若为 ∫[-π,π] (sinx)^6 / (1+e^x) dx 可求
令 I = ∫[-π,π] (sinx)^6 / (1+e^x) dx （1）
换元 ，令 u = - x,
I = ∫[π,-π] (sin(-u)^6)) / (1+e^(-u)) (-1) du
= ∫[-π,π] (sinu)^6 / (1+e^(-u)) du
= ∫[-π,π] e^u * (sinu)^6 / (e^u + 1) du （上下同乘e^u）
= ∫[-π,π] e^x * (sinx)^6 / (e^x + 1) dx （2）
（1）+ （2）, 得：
2 I = ∫[-π,π] (sinx)^6 dx （(sinx)^6 为偶函数）
= 2∫[0,π] (sinx)^6 dx （再由被积函数图形的对称性）
=4∫[0,π/2] (sinx)^6 dx
所以
I = 2∫[0,π/2] (sinx)^6 dx （递推公式）
= 2* (5/6) *（3/4）*（1/2）*（π/2）
=5π/16

Answer 2

设原积分为A，
因 M=∫ [-π,π] (sinx)^6 / (1+e^x) dx
= ∫ [-π,0] (sinx)^6 / (1+e^x) dx + ∫ [0,π] (sinx)^6 / (1+e^x) dx
= ∫ [0,π] {(sint)^6 *e^t} / (1+e^t) dt + ∫ [0,π] (sinx)^6 / (1+e^x) dx （前一个积分C令x=- t）
= ∫ [0,π] {(sinx)^6 *e^x} / (1+e^x) dx + ∫ [0,π] (sinx)^6 / (1+e^x) dx = C+A
= ∫ [0,π] (sinx)^6 dx= B
又N= ∫ [-π,π] {(sinx)^6 *e^x} / (1+e^x) dx
= ∫ [-π,0] {(sinx)^6 *e^x} / (1+e^x) dx + ∫ [0,π] {(sinx)^6 *e^x} / (1+e^x) dx
=2∫ [0,π] {(sinx)^6 *e^x} / (1+e^x) dx=2C
因 (sinx)^6 为偶函数 ，(1-e^x) / (1+e^x) 为奇函数
所以 { (sinx)^6 *（1-e^x)} / (1+e^x)为奇函数
所以 ∫ [-π,π] { (sinx)^6 *（1-e^x)} / (1+e^x) dx = 0
所以M-N=0 即B=A+C=2C
所以A=B/2=(1/2) ∫ [0,π] (sinx)^6 dx
=(1/24){30x-48sinx+9sin2x+4(sinx)^3}| 0,π
=5π/4

追问

先谢谢了，只是中间有个步骤N=2C
即 ∫ [-π,0] {(sinx)^6 *e^x} / (1+e^x) dx + ∫ [0,π] {(sinx)^6 *e^x} / (1+e^x) dx
=2∫ [0,π] {(sinx)^6 *e^x} / (1+e^x) dx 是怎么来的，我怎么看不明白，前面一个积分用t=-x换元似乎得不出和后一个积分相等啊？

还有最后(1/2) ∫ [0,π] (sinx)^6 dx =(1/24){30x-48sinx+9sin2x+4(sinx)^3}| 0,π，这个是什么，先泰勒展开然后再积分么？

追答

N=2C 这步是错了 呵呵 那我就不会了
∫ (sinx)^6 dx 这个用三次降次 2倍角公式 不是泰勒展开

Answer 3

1
∫[0,π]sinx^6dx/(1+e^x)
=-∫[0,π]sinx^5dcosx/(1+e^x)
=-sinx^5cosx/(1+e^x)|[0,π]+∫[0,π]cosxd[sinx^5/(1+e^x)
=∫[0,π]5(cosx)^2(sinx)^4dx/(1+e^x) -∫[0,π]cosxe^xsinx^5dx/(1+e^x)^2
其中∫[0,π]5(cosx)^2(sinx^4)dx/(1+e^x)
=∫[0,π](5/8)(1+cos2x)(1-cos2x)^2dx/(1+e^x)
=∫[0,π](5/8)dx/(1+e^x) +∫[0,π] (5/8)(-cos2x)dx/(1+e^x) +∫[0,π](cos2x)^3dx/(1+e^x)
∫dx/(1+e^x)=x-ln(1+e^x)+C

∫[0,π]cos2xdx/(1+e^x)没法用初等函数方式积分
∫[0,π] sinx^6dx/(1+e^x)没法积分

2
∫[-π/2,π/2]sinx^6dx/(1+e^x)
=∫[-π/2,π/2]5(cosx)^2(sinx)^4dx/(1+e^x) -∫[-π/2,π/2]cosxe^xsinx^5dx/(1+e^x)^2

∫[-π/2,π/2]cos2xdx/(1+e^x)没法用初等函数方式积分
同样道理没法继续积分

3
∫[-π,π]sinx^6dx/(1+e^x)
=∫[-π,π]5(cosx)^2(sinx)^4dx/(1+e^x) -∫[-π,π]cosxe^xsinx^5dx/(1+e^x)^2

∫[-π,π]cos2xdx/(1+e^x)没法作初等函数方式积分
同样道理没法继续积分

Answer 4

怎么感觉积不出来呢