Question

高数 第三章 复习题17题 答案详解

Answer 1

楼上的回答不是很严谨，特别是中间出现一阶导的那步是需要证明的，还是直接从定义出发分析比较好。
以下用x代表x0
由于f''(x)存在，所以f‘(x)存在且连续。
f''(x):=lim(t->0)[f'(x+t)-f'(x)]/t
f'(x+t):=lim(s->0)[f(x+t+s)-f(x+t)]/s
f'(x):=lim(s->0)[f(x+s)-f(x)]/s
所以：
f''(x)=lim(t->0)[f'(x+t)-f'(x)]/t
=lim(t->0)lim(s->0)[f(x+t+s)-f(x+t)-f(x+s)+f(x)]/(ts)
在上面的极限中我们特别地取 t = -s = h 将两个极限合并成一个，不改变原来的极限。所以：
f''(x)=lim(h->0)[f(x)-f(x+h)-f(x-h)+f(x)]/(-h²)
=lim(h->0)[f(x+h)+f(x-h)-2f(x)]/h²

追问

我还有一点不明白 就是对于导数定义 [f（x+h）-f(x)]/h 和 [f（x）-f（x-h）]/-h 都等于f'(x)么? 还是可以等于f'(x+h) 也可以等于f'(x) 谢谢

[f（x-h）-f(x)]/-h 为什么不等于 f'(x-h) 而等于f'(x)呢？

追答

lim（h->0）[f（x）-f（x-h）]/-h 不等于f'(x)，而是-f'(x)，分母应该是x-(x-h)=h才对。
另外，这里根部不存在f'(x+h)和f'(x-h)的问题，因为，f的导数只有在取h->0的极限之后才会出现。h根本不是一个具体的量，所以在lim(h->0)下，f'(x+h)是没有意义的。如果f'(x+h)有意义的话，必须按照我上面定义的，先把h固定，然后让另一个量->0定义这点x+h处的导数。另外还要提醒你一句，lim(?)是很重要的，不要忽略“？”部分到底是什么，这才是极限的关键。

追问

我现在就是关于 f'(x+h)-f(x) 和 f'(x)-f（x+h）是不是相等不太理解 还有就是 这到底等于 f''(x)还是f''(x+h)

追答

lim(h->0)之后，就没有h这个量了，当然就没有f'(x+h)和f''(x+h)这些东西了，你要注意先后顺序，是先求极限之后才有的导数，既然得到了导数，极限过程h->0就消失了，h也消失了。
f'(x+h)-f(x) 和 f'(x)-f（x+h）当然不想等了，这里就是最朴素的相等关系，1不等于2是一个意思。但是我怀疑你是不是想说前面有个lim(h->0)，如果这样，当f和f'都是连续的前提下就有：
lim(h->0)f'(x+h)-f(x)=lim(h->0)f'(x)-f（x+h）
有没有取过极限，以及对哪个变量取极限是本质性的问题，不可以想当然。
楼上的朋友回答之中有不少错误，有些问题是小节可以忽略，但是有的错误是很严重的，比如：
“在h->0的时候 f''(x)=f''(x+h) 这是相等的~”
这里他假设了二阶导数f''(x)在x这点是连续的，而且他这句话就是f''连续的数学表达式。题目只说f''(x)是存在的，没有涉及连续性，这里我们只可以知道一阶导数f'是连续的，f''的连续性是没有的。

追问

打错了 是 f'(x+h)-f'(x) 和 f'(x)-f'（x+h）不好意思 麻烦再回答一下 给你追加分数 谢谢了

追答

打不打错都没有关系，如果你真理解了我上面写的内容，就不会再来问了。那我反问你一句，任意给你一个函数g(x)，g(x)和-g(x)什么关系，当然是相加等于零，或者固定x来看是互为相反数的关系。那么你自己说 f'(x+h)-f'(x) 和 f'(x)-f'（x+h）什么关系，不能学了点高数就开始怀疑初等数学的东西了。这里面没有矛盾。
但是我上面也解释了，这个问题如果是考虑lim(h->0)的运算的情形下就可以有新的结论。注意lim(h->0)是一个运算，加与不加完全是两回事！又因为这里f'是连续的，注意连续性是核心条件，所以才有：
lim(h->0)f'(x+h)-f‘(x)=lim(h->0)f'(x)-f’(x+h)=0
我发觉你的问题跟很多初学高数的同学一样，第一章的极限没有学懂，或者自以为明白了，其实基本概念是一团糟的，这种情况非常普遍。极限理论是整个微积分的基石，后面所有的理论都离不开它，这里学不透彻，后面的困难会越来越大。建议你重新认真的把极限那一部分学一遍。概念什么的搞透彻。高数也好，数分也好，不下苦工是不行的。看在你问问题很虚心的角度，多给你说这么几句话，希望对你有所帮助。

Answer 2

下面的方法应该更为简洁.
lim(h-->0) [f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)]/h^2（是0/0型不定式，用一次罗比达法则得）
= (1/2) lim(h-->0) [f'(x0+h)-f'(x0-h)]/h
=(1/2) lim(h-->0) [f'(x0+h)-f'(x0)+f'(x0)-f'(x0-h)]/h
=(1/2) lim(h-->0) {[f'(x0+h)-f'(x0)]/h+[f'(x0-h)-f'(x0)]/(-h)}
=(1/2) [f''(x0)+f''(x0)](由二阶导数定义得到）
=f ''(x0).

追问

用了洛必达法则以后 第二行 2f（x0） 去哪里了 就这里不明白
为什么f'(x0+h)-f'(x0)不等于f''（x0+h）而等于 f''（x0）呢？谢谢回答

追答

这里2f(x0)是常数，h是变量，利用洛比达法则之后 2f（x0）是一个常数，其导数为0.
当然最后结果是f ''(x0).

Answer 3

原式
=lim [f(x+h)+f(x-h)-2f(x)]/h^2
=lim [f(x+h)-f(x)-(f(x)-f(x-h))]/h^2
=lim {[f(x+h)-f(x)]/h-[f(x)-f(x-h)]/h}/h
=lim [f'(x+h)-f'(x)]/h(导数定义）
=f''(x)(导数定义）

追问

lim {[f(x+h)-f(x)]/h-[f(x)-f(x-h)]/h}/h
为什么不是 [f(x)-f(x-h)]/h 为什么等于f'(x)呢？分子上谁在减号前面就等于谁么?
那为什么lim [f'(x+h)-f'(x)]/h=f''(x)呢 ？谢谢

追答

楼下的搞复杂了，而且二阶导数都存在，还需要证明一阶导数存不存在么~？
这个是标准的解题过程：

追问

我现在就是关于 f'(x+h)-f(x) 和 f'(x)-f（x+h）是不是相等不太理解 还有就是 这到底等于 f''(x)还是f''(x+h)

追答

lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h=f'(x)
lim(h->0)[f(x+h)-f(x-h)]/h=f'(x-h)
lim(h->0)[f'(x)-f'(x-h)]/h
=lim(h->0)f''(x-h)
=f"(x)
在h->0的时候 f''(x)=f''(x+h) 这是相等的~
f'(x+h)-f(x) 和 f'(x)-f（x+h）这两个比起来有意义么？ 拿一阶导数去减原函数 和这题没任何关系呢~