Question

高等数学：关于一元函数的拐点的命题问题

有一可导函数f(x),如果其某点的一阶导数为0，而二阶导数不为0，则这个某点就是函数的拐点？这个说法对吗？
反之，要是存在某点为拐点，则此点处的一阶导数为0，而二阶导数不为0？这个说法对吗？
对于广义结论：有一个n阶可导函数f(x),若f（x)在某点x0的n阶导数为0,当n为偶数时，x0为极值点；n为奇数时为，x0为拐点。如何理解？

Answer 1

首先，极值点是一个函数的局部性质，具体说是如果拿函数在此点的值与此点的一个小邻域内的其他值比较，取到最大或者最小，相应的就是极大值和极小值。这一概念与函数本身的可导性是没有关系的。但是对于一般的可微函数来讲，一阶导数为零的点往往就是一个极值点，但是也不是绝对的，比如f(x)=x^3，x=0并不是一个极值点。一般我们把f'=0的点叫做驻点，极值点只有两种情况，要么是驻点，要么是不可导点。反之，是不对的，不可导点或驻点不一定是极值点。
其次，拐点是函数图象凸凹性（有教材称为上凸和下凸）发生变化的点，所以叫做拐点，它与极值点没有本质上的关系，反应的是两个不同的数学性质。与极值点类似，拐点也是由两类点组成的：一是二阶导数为零的点，二是二阶导数不存在的点。
以上部分是我已经回答过的，如果你能理解的话，你的这些问题都能得到解释。至于你的补充问题，我觉得没有什么意义，而且还是个假命题。

追问

有一个n阶可导函数f(x),若f(x)在某点x0的n阶导数不为0,前n-1阶导数均为0，则有：当n为偶数时，x0为极值点；n为奇数时为，x0为拐点。
这个命题是对的吗？

追答

你这样修正过这个命题之后就是对的了。
方法是用的taylor展开，
f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
如果n阶导数不为0,前n-1阶导数均为0，那么
f(x)=f(x0)+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
如果n为偶数，那么(x-x0)^n>0，x0附近的函数值要么都大于f(x0),(此时f^(n) (x0)>0)；要么都小于f(x0),(此时f^(n) (x0)<0)。根据极值定义知道，x0一定是极值点。
我们可以把一阶导数取极值的点当做是拐点来看，采用类似的分析可以得到n为奇数时，x0为拐点的结论。

Answer 2

这种说法是不对的！一阶导数为0的x处，是函数值取得极值处；而函数图象的拐点，应该是二阶导数为0处。不要把“拐点”和“极值点”搞混了。另外，极值点除了和一阶导数有关外，还和函数值有关；拐点除了和二阶导数有关外还和一阶导数有关。

Answer 3

不对，应该是某点的一阶导数为0，而二阶导数也为0。
反之，要是存在某点为拐点，则此点处的一阶导数为0，而二阶导数也为0。

追问

那在解题时，如何去求拐点？简述下，谢谢
请问拐点是不是一定不是极值点？

追答

拐点一定不是极值点。
解题时，用f'(x)=0和f''(x)=0，共同的根。

Answer 4

对