Question

一道数学题寻求答案： 已知关于x的方程X2-4|x|+k=0,若方程有四个不同的整数根，求k的值并求出这四个跟

Answer 1

令t=|x|>=0，则方程化为：
t^2-4t+k=0， 此方程需有两个不同的正整数根，原方程才有4个不同的整数根
由t1+t2=4，由对称性，不妨令t1<t2, 则只有一组解：
t1=1, t2=3， 因此k=t1t2=3
原方程的根为x=1, 3, -1, -3.

Answer 2

X²-4|x|+k=0
x<0时
X²+4x+k=0解为x=-2±½√（16-4k）=-2±√（4-k）
为保证x有2根，必有4-k>0,则k<4
由于x<0，则-2+√（4-k）<0，有√（4-k）<2 4-k<4 k>0
即x<0时，0<k<4
x≥0时
X²-4x+k=0解为x=2±½√（16-4k）=2±√（4-k）
为保证x有2根，必有4-k>0,则k<4
由于x≥0，则2-√（4-k）≥0，有√（4-k）≤2 4-k≤4 k≥0
即x≥0时，0≤k<4
综合以上内容，方程4个根为x=±2±√（4-k），其中0<k<4
由于4个根均为整数，要求√（4-k）为整数，k只能取3
k=3时，4个根是：x=-3，x=-1，x=1，x=3