Question

求下列不定积分 急！！！

1、积分号[x^2/4根号(a^2-x^2)]dx (a>0)
2、积分号[(1/根号x)*e^根号x]dx
3、积分号{(x*e^x)/根号[(e^x)-1]}dx
题一中的根号前没有数字4

Answer 1

求下列不定积分
1.∫[x²/4√(a²-x²)]dx
解：原式=(1/4)∫[x²/√(a²-x²)]dx=(1/4a)∫{(x/a)²/√[1-(x/a)²]}dx
令x/a=sinu，则x=asinu，dx=acosudu，代入上式得：
原式=（1/4a)∫sin²udu/√(1-sin²u)=(1/4a)∫sinutanudu=-(1/4a)∫tanud(cosu)
=-(1/4a)[tanucosu-∫du/cosu]=-(1/4a)[tanucosu-ln(secu+tanu)]+C
=(1/4a){ln[x/√(x²-a²)+a/√(x²-a²)]-[a/√(x²-a²)][(1/x)√(x²-a²)]}+C
=(1/4a){ln[(x+a)/√(x²-a²)]-a/x}+C
=(1/4a)[ln(x+a)-(1/2)ln(x²-a²)-a/x]+C
2.∫[e^(√x) /√x]dx
解：原式=2∫d[e^(√x)]=2e^(√x)+C
3.∫[(xe^x)/√(e^x-1)]dx
解：令√(e^x-1)=u，则e^x=1+u²，x=ln(1+u²)，dx=2udu/(1+u²)
故原式=∫[(1+u²)ln(1+u²)][2udu/u(1+u²)]=2∫ln(1+u²)du=2[uln(1+u²)-∫2u²du/(1+u²)]
=2uln(1+u²)-4∫[1-1/(1+u²)]du=2uln(1+u²)-4[u-arctanu]+C
=2x√(e^x-1)-4[√(e^x-1)-arctan√(e^x-1)]+C
=2(x-2)√(e^x-1)+4arctan√(e^x-1)+C